El modelado y control de sistemas
basado en la transformada de Laplace, es un enfoque muy sencillo y de fácil
aplicación. Permite Analizar sistemas utilizando una serie de reglas
algebraicas en lugar de trabajar con ecuaciones diferenciales.
En este enfoque tiene más valor la
simplicidad que la exactitud.
Sin embargo, la descripción de sistemas mediante la función de Transferencia
tiene las siguientes limitaciones:
• No
proporciona información sobre la estructura física del sistema.
• Solo es
válida para sistemas lineales con una entrada y una
Salida e
invariantes en el tiempo.
• No
proporciona información de lo que pasa dentro del sistema.
• Se
necesita que las condiciones iniciales del sistema sean nulas.
Ningún
sistema dinámico de interés cumple con estos requisitos, es decir: Los sistemas
reales presentan no linealidades, pueden tener más de una entrada o salida, sus
parámetros cambian en el tiempo y sus condiciones iniciales no siempre tienen
un valor de cero.
Afortunadamente,
para muchos sistemas es posible considerar esas limitaciones, trabajar sobre un
punto de interés, linealizar y utilizar las ventajas del análisis por Laplace.
Sin
embargo otros sistemas son tan complejos que no es posible utilizar este
enfoque. Para este tipo de sistemas se utiliza la representación en espacio de
estado. La representación es espacio de estado presenta las siguientes
ventajas:
•
Aplicable a sistemas lineales y no lineales.
• Permite
analizar sistemas de más de una entrada o más de una salida.
• Pueden
ser sistemas variantes o invariantes en el tiempo.
• Las
condiciones iniciales pueden ser diferentes de cero.
•
Proporciona información de lo que pasa dentro del sistema.
• Resultados
sencillos y elegantes.
Estado. Es el
conjunto más pequeño de variables (denominadas variables de estado)
tales que el conocimiento de esas variables en conjuntamente con el conocimiento
de la entrada para, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier
tiempo.
Representación
por medio del espacio de estado
Con esta herramienta tenemos la
capacidad de conocer y controlar en cierta medida la dinámica interna de un sistema
y su respuesta. Este método principia con la selección de las variables de
estado, las cuales deben de ser capaces en conjunto de determinar las
condiciones de la dinámica del sistema para todo tiempo. Pueden existir varias representaciones
en variables de estado para un sistema.
ANALISIS
DE LOS SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO
Un
sistema de orden n se caracteriza
por tener n variables, estas variables se denominan variables de estado
del sistema y son funciones de la variable independiente tiempo.
Analizar
el sistema consiste en predecir la respuesta, ante una excitación, conocida la
energía inicial del sistema.
Con la representación en
el E.E. se puede conocer y controlar de cierto modo la dinámica interna de un
sistema y su respuesta. Pueden existir varias representaciones en variables de
estado para un sistema.
La salida depende de las entradas y de
las variables de estado del sistema:
Para sistemas lineales se tiene que:
Ecuación de salida.
En cuanto
al comportamiento dinámico del sistema, la ecuación diferencial que mide la
variación del vector de estado con respecto al tiempo, es una ecuación
diferencial lineal de la forma:
Relación Espacio de Estados con FUNCION TRANSFERENCIA
(Del espacio de Estados a la Función de
Transferencia)
Se reescribe el sistema en el dominio
de Laplace:
EJEMPLO
De la Función de Transferencia al Espacio de
Estados
FORMAS CANONICAS
Forma canónica controlable.
Se reescribe el sistema en el dominio
de Laplace
En
forma matricial se tiene:
La
variable de salida es:
En forma matricial es:
EJEMPLO:
Halle la forma canónica controlable de la siguiente función de
transferencia.
Comparando coeficientes es posible llegar a la representación en
espacio y estado para la función de transferencia dada.
